第一讲里没有具体需要好好理解的部分，不过自测题目题目值得过一遍。

1.线性方程Ax=b的求解

有线性方程$Ax=b$，若已知$A,b$，需要求解$x$，该如何求解？这对$A$和$b$有哪些要求？

（提示：从$A$的维度和秩的角度来分析）

这个问题很简单，但是值得全面地分析和理解：

首先假设$A$是一个$m \times n$矩阵，$x$是一个$n \times 1$的列向量，$b$是一个$m \times 1$的列向量。这里的$m$表示方程的数量，$n$表示未知数的数量。

先从矩阵的秩出发来理解，以列的角度看，矩阵的秩表示了所有列向量线性组合所能达到的空间范围，对于方程$Ax=b$，如果向量$b$在矩阵$A$的列空间中（$b$可以被$A$的列向量线性表示），那么存在至少一个解$x$使得$Ax=b$，因此就有了下面的判断性质（比较矩阵$A$和增广矩阵$A|b$秩的关系）：

  • $rank(A) = rank(A|b)$：表明向量$b$在矩阵$A$的列空间中，因此至少存在一个解$x$使得$Ax=b$。
  • $rank(A) < rank(A|b)$：表明$b$不在$A$的列空间中，因此没有解。

然后再分析$rank(A)$来确定解的情况，是有唯一解还是存在多个解：

  • 如果$rank(A)=n$（未知数的数量，也就是列的数量），则$A$的所有列向量都是线性独立的，意味着对于给定的$b$，存在唯一的$x$满足$Ax=b$。
  • 如果$rank(A)<n$，则$A$中的某些列向量是其他列向量的线性组合，意味着给定的$b$时，这些可以被其他列向量表示的向量不参与线性组合出$b$，也就可以有任意值作为系数，导致存在无限多个解。

线性方程$Ax=b$的求解方法

‼️以下的回答来自GPT，自己还不是很理解，需要重新系统学习线性代数的知识后再进行自己的消化吸收！

  • 超定系统：$m > n$，方程数量多于未知数。
  • 欠定系统：$m < n$，方程数量少于未知数。
  • 适定系统：$m = n$，方程数量等于未知数。

LU分解

  • 原理：将矩阵$A$分解为两个特殊的矩阵乘积，一个下三角矩阵$L$和一个上三角矩阵$U$，即$A=LU$。这样，原始问题$Ax=b$变为求解两个更简单的线性方程组$L(Ux)=b$。
  • 求解过程：首先解$L\mathbf{y}=b$找到$\mathbf{y}$，然后解$Ux=\mathbf{y}$找到$x$。
  • 适用性：特别适用于适定系统，也可用于某些类型的超定和欠定系统，假设$A$可以进行有效的LU分解。

QR分解

  • 原理：将矩阵$A$分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$，即$A=QR$。正交矩阵具有性质$Q^TQ=I$（$I$是单位矩阵）。
  • 求解过程：利用$Q$的正交性质，原方程$Ax=b$变为$QRx=b$，进一步化简为$Rx=Q^Tb$，然后可以通过回代求解上三角方程组$Rx=Q^Tb$来找到$x$。
  • 适用性：适用于所有类型的系统，尤其是超定系统，因为QR分解提供了一种求解最小二乘问题的自然方法。

奇异值分解（SVD）

  • 原理：SVD将矩阵$A$分解为三个矩阵的乘积，即$A=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是所谓的奇异值。
  • 求解过程：对于方程$Ax=b$，可以转换为$\Sigma y=U^Tb$（这里$y=V^Tx$），然后通过求解$\Sigma y=U^Tb$来找到$y$，进一步求得$x=Vy$。
  • 适用性：SVD是一种非常强大的方法，特别是对于奇异矩阵或矩阵秩不满的情况，因为它允许计算伪逆矩阵$A^+$，即使在$A$不可逆的情况下也能找到最小二乘解或最小范数解。

迭代方法求解

  • 原理：迭代方法是从一个初始估计开始，通过重复应用迭代公式来逐步逼近方程的解。常见的迭代方法包括雅可比方法、高斯-赛德尔方法和共轭梯度法等。
  • 求解过程：根据具体的迭代公式，每一步都基于前一步的结果来更新解的估计值，直至满足某个终止条件（如解的变化小于某个阈值）。
  • 适用性：迭代方法特别适用于大规模稀疏矩阵的系统，因为它们通常不需要矩阵分解，而矩阵分解在大规模问题上可能非常昂贵。

2.高斯分布

高斯分布是什么？它的一维形式是什么样子？它的高维形式是什么样子？

高斯分布，也称为正态分布，高斯分布可以被视为描述自然和人为现象中随机误差的理想模型，其普遍性来源于中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT），这个定理说明了许多小效应的累积可以产生高斯分布的现象，具体而言就是：“大量相互独立且分布相同的随机变量之和趋向于服从正态分布，无论原始随机变量的分布如何。”

高斯分布的一维形式

一维高斯分布（或简称为正态分布）的数学表达式为：

$$ f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$

其中，$\mu$是分布的均值，$\sigma^2$是方差，$\sigma$是标准差。这个公式描述了在给定均值$\mu$和方差$\sigma^2$的情况下，随机变量$X$取特定值$x$的概率密度。图形上，一维高斯分布是一个对称的钟形曲线，其中心位于均值$\mu$，曲线的宽度由标准差$\sigma$决定。

高斯分布的高维形式

高维高斯分布，或多变量高斯分布，是一维高斯分布在多维空间中的推广。其数学表达式为：

$$ f(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \Sigma) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k |\Sigma|}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) $$

其中，$\mathbf{x}$是一个$k$维随机向量，$\boldsymbol{\mu}$是均值向量，$\Sigma$是协方差矩阵，$|\Sigma|$是协方差矩阵的行列式。高维高斯分布的图形是在多维空间中的一个“山峰”，其中心位于均值向量$\boldsymbol{\mu}$，“山峰”的形状和方向由协方差矩阵$\Sigma$决定。

协方差是衡量两个随机变量联合变化趋势的度量。如果两个变量的增减趋势相同（即一个变量增加时，另一个也增加），则它们的协方差为正；如果一个变量增加时另一个减少，则协方差为负。

对于两个随机变量$X$和$Y$，协方差定义为$Cov(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$，其中$\mu_X$和$\mu_Y$分别是$X$和$Y$的均值，$E$表示期望值操作。

3.C++基本知识

C++中的类是什么？STL是什么？模版又是什么？

（将基本常用的举例出来进行说明）

C++11的新特性以及其他标准

对于C和C++，我觉得需要系统的课程来学习补充，边用边学是持续的，先打好基础，边学边成长才更好

以下只是对这个回答的简要回答（举例说明）

类（Class）

类是C++中用于数据封装和面向对象编程的基本构建块。它定义了一种数据类型的蓝图，包括数据成员（属性）和成员函数（方法），用于操作这些数据。

class Car {
public:
    Car(int y, const std::string& m) : year(y), model(m) {}
    void display() const {
        std::cout << "Year: " << year << ", Model: " << model << std::endl;
    }
private:
    int year;
    std::string model;
};

标准模板库（STL）

STL是一组模板化的通用类和函数的集合，提供了常见的数据结构（如向量、列表、队列等）和算法（如排序、搜索等）。STL的核心组成部分包括：

  • 容器：存储数据的数据结构。例如std::vector、std::list、std::map等。
  • 算法：操作数据的函数，例如std::sort、std::find。
  • 迭代器：提供对容器中元素的访问方式。
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

int main() {
    std::vector<int> vec = {4, 1, 3, 5, 2};
    std::sort(vec.begin(), vec.end());
    for(int i : vec) {
        std::cout << i << " ";
    }
}

模板（Template）

模板允许在不指定具体类型的情况下编写代码。它们使得可以创建泛型类和函数，使代码更加灵活和可重用。

template <typename T>
T add(T a, T b) {
    return a + b;
}

// 使用模板函数
int result = add<int>(1, 2);

C++11/14/17的新特性举例

C++11

  • 自动类型推断（auto）：让编译器自动推断变量的类型。
  • 基于范围的for循环：简化了集合的遍历。
  • 智能指针：如std::shared_ptr和std::unique_ptr，管理动态分配的内存。
  • Lambda表达式：允许定义匿名函数。

C++14

  • 泛型Lambda：Lambda表达式中使用自动类型推断。
  • 返回类型推断：函数的返回类型可以被自动推断。

C++17

  • 结构化绑定：允许从数组或元组中一次性解包多个值。
  • 内联变量：对于头文件中的全局变量，允许多个源文件中包含同一个变量而不会引起重定义错误。
  • std::optional：表示一个可能不存在的值。

4.Linux必备的操作

Linux必备知识

  1. 基本命令行操作: 理解如何使用命令行界面（CLI）进行文件系统的导航（如cd, ls, pwd）、文件操作（如cp, mv, rm, mkdir）和文本文件查看与编辑（如cat, nano, vi/vim）。

  2. 软件安装与管理: 熟悉所用发行版的包管理器，如Ubuntu的apt, CentOS的yum或Fedora的dnf，用于安装、更新和管理软件包。

  3. 权限和用户管理: 了解文件权限（chmod, chown）和用户管理命令（useradd, usermod, groupadd），以及如何使用sudo来执行需要超级用户权限的命令。

  4. 进程管理: 学会如何使用ps, top, htop, kill, 和systemctl来查看和管理运行中的进程和服务。

  5. 网络配置和故障排除: 掌握使用ifconfig/ipconfig, ping, netstat, ss, traceroute等命令进行网络配置和故障排查。

  6. Shell脚本编写: 学习基本的Shell脚本编写，以自动化日常任务。

  7. 文件系统管理: 了解不同的文件系统类型，磁盘分区（fdisk, parted），以及如何挂载和卸载文件系统（mount, umount）。

  8. 安全和防火墙: 基本的系统安全知识，如使用iptables或ufw管理防火墙规则，以及使用ssh进行安全远程登录。

Linux的一些“术”

  • 使用man命令: 几乎所有Linux命令都有手册页，通过man <命令名>可以查看详细的使用说明和选项。
  • 命令行自动完成: 通过按Tab键自动完成命令名称或参数，这不仅可以加快命令输入速度，还可以帮助记忆命令。
  • 使用apropos命令: 如果不确定使用哪个命令，可以通过apropos <关键词>来搜索相关的命令。
  • 建立个人命令备忘录: 当学习新命令时，将它们记录在笔记中，随时查阅。

Linux安装软件

在使用apt（或apt-get）在Ubuntu或基于Debian的系统中安装软件时，软件包通常会被安装到系统的标准目录下，这遵循了Linux的文件系统层次结构标准（FHS）。大部分可执行文件会放置在/usr/bin/或/usr/local/bin/目录下，库文件通常位于/usr/lib/或/usr/local/lib/，而配置文件大多数在/etc/下。文档和示例文件可能位于/usr/share/doc/。

如何安装软件

如果你只是模糊知道某个软件包的名字，可以使用apt提供的搜索功能来查找正确的软件包名。以下是步骤和示例，以Eigen这个数学库为例：

  1. 更新软件包列表：首先，最好更新本地软件包列表，以确保搜索和安装的是最新版本的软件。在终端中运行：

    sudo apt update

  2. 搜索软件包：如果不确定软件包的确切名称，可以使用apt-cache search命令进行搜索。例如，如果要搜索Eigen，可以运行：

    apt-cache search eigen

    这将列出所有与“eigen”相关的软件包。在结果中，会看到很多与Eigen相关的包，其中可能包括实际的Eigen库包和其他相关包。

  3. 安装软件包：一旦你找到了想要安装的确切软件包名称，就可以使用apt-get install命令进行安装。如果结果显示Eigen的开发包是libeigen3-dev（这是一个常见的包名，用于包含Eigen库的开发文件），就可以运行：

    sudo apt-get install libeigen3-dev

    这条命令会安装Eigen库及其所有依赖项。

如何找到安装的软件

如果想知道apt安装的软件具体放在哪里，可以使用dpkg -L命令来列出软件包安装的所有文件的位置。例如，要找到libeigen3-dev安装的所有文件，可以运行：

dpkg -L libeigen3-dev

这将列出所有由该软件包安装的文件和目录的路径，包括库文件、头文件、文档等。

✨Linux的文件系统

Linux的文件系统层次结构标准（FHS, Filesystem Hierarchy Standard）定义了操作系统中目录和目录内容的标准布局。这种标准化设计使得开发者和用户能够预测在任何基于Linux的系统上找到特定类型文件的位置。以下是一些主要目录及其用途的简要说明：

根目录 /

在Linux中，所有的文件和目录都从根目录开始。这是整个文件系统的起点。

/bin

这个目录包含执行文件（二进制文件），这些文件是系统启动和运行所必需的，同时也存放了用户常用的命令（如ls, cp等）所依赖的执行文件。

用例：存放基本的命令，如grep, echo, sleep。这些命令在单用户模式下或紧急恢复时也必须可用。

/boot

包含启动Linux系统所需的文件，比如Linux内核（vmlinuz），引导加载程序（GRUB或LILO）的配置文件等。

/dev

这个目录下包含设备文件。Linux将设备视为文件，这些设备文件代表系统中的硬件组件。

/etc

包含系统配置文件。这些文件只能被根用户或具有适当权限的用户修改。这里包括系统启动脚本、网络配置文件等。

用例：包含如/etc/passwd（用户账户信息）和/etc/fstab（文件系统挂载的静态信息）等关键配置文件。

/home

用户的个人目录位于此处。每个用户都有一个与其用户名对应的目录，用于存储个人文件、配置等。

/lib

包含系统最基本的共享库和内核模块。这些库支持位于/bin和/sbin目录中的二进制文件。

用例：存放动态链接库（如libc.so.6），它们是执行/bin和/sbin下命令所必需的。

/media和/mnt

/media通常用于挂载可移动媒体设备，如CD-ROMs、USB驱动器等，而/mnt则用作临时挂载文件系统的目的。

/opt

用于安装“可选”的软件应用。这些是非基本系统软件，通常作为整个应用程序安装在这里。

用例：第三方应用程序如Google Chrome或某些商业软件可能会安装在这里，每个应用通常有其自己的子目录。

/proc

这是一个虚拟文件系统，提供对内核和进程信息的接口。它并不占用磁盘空间，而是在内存中动态生成。

/root

这是系统管理员，也就是root用户的家目录。这与/home目录分开，为了安全性和管理方便。

/sbin

包含系统管理和维护的必需的执行文件，这些命令通常由root用户运行，如fdisk, ifconfig, swapon等。

/tmp

一个临时文件存储区域。系统和用户可以在这里创建临时文件。通常，此目录在系统重启时会被清空。

/usr

包含用户程序和数据。它是Unix System Resources的缩写。随着时间的推移，/usr目录已经成为存储共享系统资源的主要目录。

  • /usr/bin：包含用户安装的非系统必需的执行文件。
  • /usr/lib：类似/lib，但是为/usr/bin下的程序提供库支持。
  • /usr/local：用于系统管理员安装本地软件，保持与由包管理器安装的软件的分离。
  • 用例：/usr/bin下可能会有如python, gcc等用户级程序。

/var

包含经常变化的文件，如日志文件、打印队列、邮件等。

  • /var/log：存放系统日志文件，如/var/log/syslog或/var/log/apache2。
  • /var/mail：存储用户的邮件。
  • /var/cache：用于存放应用程序缓存数据。
  • 用例：系统管理员可能需要定期检查/var/log来监控系统和应用程序的活动。

/srv

用于存放服务提供的数据，例如Web服务器和FTP服务器的数据文件。

用例：如果您运行一个Web服务，网站的数据可能位于/srv/www。

/sys

与/proc相似，/sys是一个虚拟文件系统，提供了内核、设备和驱动程序的接口。

用例：/sys提供了一种更加结构化的方式来浏览设备和驱动程序的信息，如查询特定USB设备的信息。

/etc/cron.*

这些目录（cron.daily, cron.hourly, cron.monthly, cron.weekly）用于存放定时执行的脚本。

用例：自动备份脚本可能放在/etc/cron.daily中，以确保每天执行。

5.Vim必须会的几个操作

已经不在执着于美化Vim的各种插件了（因为完全可以用更好的CLion、VSCode之类）

‼️但是命令行中Vim最方便，但只要知道最基础的操作就足够了：怎么增删改查，怎么复制粘贴。

Vim是一个非常强大的文本编辑器，常被用于编程和脚本编辑。它的操作方式与其他文本编辑器有很大不同，主要基于键盘快捷键，分为多种模式，最主要的是普通模式（Normal Mode）、插入模式（Insert Mode）、命令模式（Command-Line Mode）和可视模式（Visual Mode）。以下是关于Vim的基本用法，包括增删改查、复制粘贴，以及批量执行命令的方法。

Vim的基本操作

进入插入模式

  • 在普通模式下，按i进入插入模式，在光标前插入文本。
  • 按a也可以进入插入模式，在光标后插入文本。
  • 按I在当前行首进入插入模式，按A在当前行尾进入插入模式。

删除文本

  • 在普通模式下，按x删除光标所在位置的字符。
  • 按dd删除光标所在行。
  • 要删除从当前光标位置到行尾的内容，可以使用D。

修改文本

  • 在普通模式下，按r后跟一个字符可以替换光标所在位置的字符。
  • 使用cw可以更改光标开始的单词，这将删除单词并进入插入模式。

查找文本

  • 在普通模式下，按/后输入要查找的文字，然后按Enter进行搜索。按n查找下一个匹配项，按N查找上一个匹配项。

复制和粘贴

  • 在普通模式下，按yy复制当前行，按p粘贴到光标后。
  • 要复制多行，可以先按2yy来复制两行（2可以替换为任何数字，表示行数）。
  • 使用可视模式（按v进入）可以选择特定的文本区域，然后按y复制。

移动操作

  • 基本移动：h（左移）、j（下移）、k（上移）、l（右移）。
  • 按单词移动：
    • w：向前移动到下一个单词的开头。
    • b：向后移动到前一个单词的开头。
    • e：向前移动到当前或下一个单词的结尾。
  • 按行移动：
    • 0（零）：移动到当前行的开始。
    • ^：移动到当前行的第一个非空白字符。
    • $：移动到当前行的末尾。
  • 跳转到特定行：
    • gg：跳转到文件的第一行。
    • G：跳转到文件的最后一行。
    • :<行号>+Enter：跳转到文件中的特定行号。
  • 屏幕移动：
    • H：移动到屏幕顶部的行。
    • M：移动到屏幕中间的行。
    • L：移动到屏幕底部的行。
  • 翻页：
    • Ctrl+f：向前翻一页。
    • Ctrl+b：向后翻一页。
    • Ctrl+d：向前翻半页。
    • Ctrl+u：向后翻半页。

可以结合前置数字来实现“批量移动”，这意味着可以在移动命令前加上一个数字来重复该命令多次，例如：

  • 5j 表示向下（j）移动5行。
  • 3w 表示向前跳过3个单词到下一个单词的开头。
  • 10k 表示向上（k）移动10行。
  • 4$ 表示移动到后面4行的末尾。

Vim与外部（macOS）的复制粘贴

在macOS上，从Vim复制文本到外部程序，首先需要确认你的Vim版本是否支持剪贴板（clipboard）功能。可以通过在终端中输入vim --version查看。如果看到+clipboard，则表示支持剪贴板功能；如果是-clipboard，则表示不支持，可能需要安装支持剪贴板的Vim版本，比如通过brew install vim。

  1. 启用剪贴板支持：确保Vim版本支持系统剪贴板。

  2. 复制文本到剪贴板：

    • 在普通模式下，要复制整行到系统剪贴板，使用"+yy。（一个一个字符来按）
    • 要复制指定文本，先按v进入可视模式，选择需要的文本，然后使用"+y复制。

  3. 从外部粘贴到Vim：在插入模式下，使用Cmd+V（macOS通常的粘贴快捷键）或在普通模式下使用"+p来粘贴剪贴板的内容到Vim。

一些技巧

  • 在普通模式下，可以通过:norm命令批量执行操作。比如，:norm I//会在所有选中的行前添加//（注释掉这些行）。

  • 批量替换文本，可以使用:s命令。例如，要在整个文件中替换"old"为"new"，可以使用:s/old/new/g。

  • 在多个行前添加内容：假设想在文件的每一行前添加序号或特定标记，可以使用:norm命令。例如，:5,10norm I// 会在第5行到第10行的开头添加// 。

  • 转换大小写：要将选定行的文本转换为大写，可以使用:norm结合gU命令。例如，:5,10norm gU$会将第5到第10行的内容转换为大写。

  • 快速跳转至匹配的括号：在普通模式下，使用%可以跳转至匹配的括号，这在编辑代码时非常有用。

  • 撤销和重做：使用u来撤销最近的一次更改，使用Ctrl+r来重做被撤销的更改。

  • 打开/关闭行号显示：快速切换行号显示，可以使用:set nu!和:set rnu!来分别切换绝对行号和相对行号的显示状态。